Método de Punto Fijo

Los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir la raíz de la funcion. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo), al arreglar la ecuación f(x) = 0 de tal modo que x esté del lado izquierdo de la ecuación:

x = g(x)

Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x a cada lado de la ecuación original.

La utilidad de la ecuación x = g(x) es que proporciona una fórmula para predecir un nuevo valor de x en función del valor anterior de x. De esta manera, dado un valor inicial para la raíz xn, se utiliza para obtener una nueva aproximación xn+1, expresada por la fórmula iterativa

x_n+1 = g(x_n)

Al despejar la ecuación x = g(x) se debe verificar la convergencia de la ecuación g(x) a la raíz, lo cual se puede realizar por medio del siguiente teorema 

|g'(x)| < 1

En consecuencia, si |g'(x)| < 1, entonces los errores disminuyen con cada iteración. Si |g'(x)| > 1, los errores crecen. Observe también que si la derivada es positiva, los errores serán positivos y, por lo tanto, la solución iterativa será monótona. Si la derivada es negativa, entonces los errores oscilarán.

En las dos gráficas de arriba (a, b) el método converge a la raíz,
por el contrario en los otros dos (c, d) el método diverge a la raíz. 

Un corolario de este análisis establece que cuando el método converge, el error es proporcional y menor que el error en la iteración anterior. Por tal razón se dice que la iteración simple de punto fijo es linealmente convergente.

Para un calculo fácil se puede utilizar una tabla como la siguiente donde se ve el numero de iteraciones y el cambio del valor xr hasta llegar al valor que satisfaga el error buscado.

Aplicativo en GeoGebra

El presente aplicativo nos permite ingresar cualquier función y procede a hacer las iteraciones por el método de punto fijo hasta encontrar la raíz. También nos muestra si la función es convergente o divergente y el valor de x para cada iteracion.

Para una mejor visualización del aplicativo por favor visita el siguiente link:

https://www.geogebratube.org/student/m339313