Método de Newthon-Raphson

Representación gráfica del método de Newthon-Raphson

Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi, f ’(xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

El método de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretación geométrica. De la imagen, se tiene que la primera derivada f ’(xi) en x es equivalente a la pendiente, de donde se despeja x i+1:

El método de Newton-Raphson  no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no se tiene ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia. 

También observe que en el caso de que f ’(xi)=0 , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x  en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso xi  mismo es una raíz de f (x).

Casos donde el método de Newthon-Raphson diverge.

Para un calculo fácil se puede utilizar una tabla como la siguiente donde se ve el numero de iteraciones y el cambio del valor xr hasta llegar al valor que satisfaga el error buscado.

Aplicativo en GeoGebra

El presente aplicativo nos permite ingresar cualquier función y procede a hacer las iteraciones por el método hasta encontrar la raíz. También nos muestra si la función es convergente o divergente y el valor de x para cada iteracion.

Vídeo aplicativo en GeoGebra

En el presente vídeo se explica como construir el aplicativo mostrado.