Método de la Secante

Un problema potencial en la implementación del método de Newton-Raphson es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios ni para muchas otras funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás,

Esta aproximación se sustituye en la ecuación iterativa del metodo de Newthon-Raphson para obtener la siguiente ecuación iterativa:

Esta ecuación es la fórmula para el método de la secante. Observe que el método requiere de dos valores iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se necesita que f(x) cambie de signo entre los valores dados, este método no se clasifica como un método cerrado.

Este método puede ser comparado con el de Falsa Posicion ya que presenta algunas similitudes, sin embargo aunque el método de la secante sea divergente, cuando converge lo hace más rápido que el método de la falsa posición. La inferioridad del método de la falsa posición se debe a que un extremo permanece fijo, para mantener a la raíz dentro del intervalo. Esta propiedad, que es una ventaja porque previene la divergencia, tiene una desventaja en relación con la velocidad de convergencia; esto hace de la diferencia finita estimada una aproximación menos exacta que la derivada.

Metodo de la Secante Modificado

En lugar de usar dos valores arbitrarios para aproximar la derivada, un método alternativo considera un cambio fraccionario de la variable independiente para estimar ƒ′(x),

donde d es un pequeño cambio fraccionario. Esta aproximación se sustituye en la ecuación de Newthon-Raphson obteniendo la siguiente ecuación iterativa:

La elección de un valor adecuado para d no es automática. Si d es muy pequeño, el método puede no tener éxito por el error de redondeo, causado por la cancelación por resta en el denominador de la ecuación. Si ésta es muy grande, la técnica puede llegar a ser ineficiente y hasta divergente. No obstante, si se selecciona correctamente, proporciona una adecuada alternativa en los casos donde la evaluación de la derivada se dificulta y el desarrollo de dos valores iniciales es inconveniente.

Aplicativo en GeoGebra

El presente aplicativo esta creado basado en el método de la secante modificado, nos permite ingresar cualquier función y procede a hacer las iteraciones por el método hasta encontrar la raíz. También nos muestra el valor de x para cada iteracion.

Vídeo aplicativo en GeoGebra

En el presente vídeo se explica como construir el aplicativo mostrado.